フェルマーの小定理の解説

正確な表現：
「整数は、偶数と奇数が組み合わさったもの」という表現は、
少し不正確です。より正確には：

整数 = { 偶数 } ∪ { 奇数 }
つまり、すべての整数は、偶数か奇数のどちらか一方に分類されます。

重要なポイント：
1. 排他的：1つの整数は、偶数か奇数のどちらか一方です（両方ではありません）
2. 網羅的：すべての整数は、偶数か奇数のどちらかに分類されます
3. 0 は偶数：0 = 2 × 0 なので、0 は偶数です

具体例：
偶数： ..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
奇数： ..., -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

判定方法：
整数 n が偶数か奇数かは、n を 2 で割った余りで判定できます：
• n ÷ 2 の余りが 0 → 偶数
• n ÷ 2 の余りが 1 → 奇数

数学的な表現：
• 偶数：n = 2k（k は整数）
• 奇数：n = 2k + 1（k は整数）
• すべての整数 n は、n = 2k または n = 2k + 1 のどちらかの形で表せます

結論：
「整数は、偶数と奇数が組み合わさったもの」という理解は、
意図は伝わりますが、より正確には
「整数は、偶数と奇数の和集合である」または
「すべての整数は、偶数か奇数のどちらか一方に分類される」
と表現するのが適切です。✓

演算の性質：
• 偶数 + 偶数 = 偶数
• 奇数 + 奇数 = 偶数
• 偶数 + 奇数 = 奇数
• 偶数 × 偶数 = 偶数
• 奇数 × 奇数 = 奇数
• 偶数 × 奇数 = 偶数

2乗の性質：
• 偶数の2乗 = 偶数
• 奇数の2乗 = 奇数
これが、背理法の証明で「a² が偶数なら a も偶数」と結論できる理由です。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71

素数の性質（2を除く）：
2 以外の素数は、すべて奇数です。
つまり、2 以外の素数を 2 で割ると、余りは必ず 1 になります。

理由：
• 2 以外の偶数は、すべて 2 で割り切れます
• 2 で割り切れる数は、2 と自分自身の2つの約数を持つので、素数ではありません
• したがって、2 以外の素数は、必ず奇数です
• 奇数を 2 で割ると、余りは 1 になります

具体例：
素数（2を除く）を2で割った余り：
• 3 ÷ 2 = 1 余り 1 ✓
• 5 ÷ 2 = 2 余り 1 ✓
• 7 ÷ 2 = 3 余り 1 ✓
• 11 ÷ 2 = 5 余り 1 ✓
• 13 ÷ 2 = 6 余り 1 ✓
• 17 ÷ 2 = 8 余り 1 ✓
• 19 ÷ 2 = 9 余り 1 ✓
• 23 ÷ 2 = 11 余り 1 ✓

しかし、逆は成り立たない：
2 で割って余りが 1 になる数（奇数）が、必ずしも素数とは限りません。

奇数だが素数ではない例（合成数）：
• 9 ÷ 2 = 4 余り 1 → しかし 9 = 3 × 3（合成数）✗
• 15 ÷ 2 = 7 余り 1 → しかし 15 = 3 × 5（合成数）✗
• 21 ÷ 2 = 10 余り 1 → しかし 21 = 3 × 7（合成数）✗
• 25 ÷ 2 = 12 余り 1 → しかし 25 = 5 × 5（合成数）✗
• 27 ÷ 2 = 13 余り 1 → しかし 27 = 3 × 3 × 3（合成数）✗
• 33 ÷ 2 = 16 余り 1 → しかし 33 = 3 × 11（合成数）✗
• 35 ÷ 2 = 17 余り 1 → しかし 35 = 5 × 7（合成数）✗
• 39 ÷ 2 = 19 余り 1 → しかし 39 = 3 × 13（合成数）✗
• 49 ÷ 2 = 24 余り 1 → しかし 49 = 7 × 7（合成数）✗

数学的な表現：
• 2 以外の素数 → 奇数：これは真です（2 以外の素数は必ず奇数）
• 奇数 → 素数：これは偽です（奇数が必ずしも素数とは限らない）
• 2 で割って余りが 1 → 素数：これは偽です（2 で割って余りが 1 でも合成数の場合がある）

重要なポイント：
1. 2 以外の素数は必ず奇数：これは正しい性質です
2. しかし、奇数がすべて素数というわけではない：多くの奇数は合成数です
3. 2 で割って余りが 1 になることは、素数の必要条件だが十分条件ではない：
  • 必要条件：素数（2を除く）ならば、2で割って余りが1
  • 十分条件ではない：2で割って余りが1でも、素数とは限らない

素数の判定：
2 で割って余りが 1 になることは、素数であるための必要条件ですが、
それだけでは素数であることを確定できません。
素数かどうかを判定するには、2 から √n までの整数で割り切れるかどうかを確認する必要があります。

結論：
はい、その理解で正しいです！
• 素数（2を除く）は、2で割れば必ず余りが1になる（奇数である）
• しかし、2で割れば余りが1になる（奇数である）からといって、
  それは必ずしも素数とはいえない
• 多くの奇数は合成数です
これが、素数と奇数の関係です。✓

証明したいこと： √2 は無理数である

ステップ1：仮定
√2 が有理数であると仮定します。
有理数の定義により、√2 = a/b（a, b は整数、b ≠ 0）と表せます。
さらに、上記の定理により、a と b は互いに素としても一般性を失いません。
つまり、√2 = a/b（a, b は互いに素な整数、b ≠ 0）と表せるとします。

なぜ a と b を互いに素としても一般性を失わないのか？
任意の有理数は、互いに素な整数の比として一意に表すことができます（算術の基本定理の応用）。

具体例で理解する：
もし √2 が有理数なら、例えば以下のような表し方が考えられます：
• √2 = 4/6
• √2 = 6/9
• √2 = 8/12
• √2 = 2/3（約分した形）

しかし、これらはすべて同じ数を表しています（4/6 = 6/9 = 8/12 = 2/3）。
約分前の形（4/6）でも約分後の形（2/3）でも、同じ有理数を表しています。
したがって、互いに素な形（2/3）を選んでも、すべての可能性をカバーしています。

数学的な理由：
有理数 r = c/d（c, d は整数、d ≠ 0）とします。
c と d の最大公約数を g = gcd(c, d) とすると、
c = ga'、d = gb'（a', b' は互いに素な整数）と表せます。
したがって、r = c/d = (ga')/(gb') = a'/b'
ここで、a' と b' は互いに素です。

重要な注意：互いに素でなければいけないのか？
答え：いいえ、互いに素でなければいけないわけではありません。

「互いに素でなければいけない」という強制ではありません。
正確には「互いに素としても一般性を失わない」という意味です。

なぜ「互いに素としても」と言うのか：
• もし √2 = 4/6 と表せたとしても、これは 2/3 と約分できます
• 4/6 と 2/3 は同じ数を表しているので、どちらを使っても同じです
• しかし、互いに素な形（2/3）を使う方が証明が簡単になります
• なぜなら、互いに素でない形（4/6）を使うと、証明が複雑になるからです

互いに素でない形でも証明できるか？
理論的には可能ですが、より複雑になります。
例えば、√2 = 4/6 と仮定すると：
• 2 = 16/36 → 72 = 16 → これは矛盾ですが、証明が複雑です
• 互いに素な形（2/3）を使うと、証明がより明確で簡潔になります

結論：
もし √2 が有理数なら、必ず互いに素な整数の比として表せるはずです。
逆に、互いに素な形で表せないなら、有理数ではありません。
このため、互いに素という条件を付けても一般性を失いません。✓
むしろ、この条件があることで、後の矛盾の導出が明確になります。
（互いに素でない形でも証明は可能ですが、互いに素な形を使う方が証明が簡単で明確です）

なぜ互いに素な形（2/3）を使う方が証明が簡単になるのか？
互いに素でない形（4/6）と互いに素な形（2/3）を比較してみましょう。

方法1：互いに素でない形（4/6）を使った場合
√2 = 4/6 と仮定します。
両辺を2乗すると：2 = 16/36 = 4/9
したがって：18 = 4
これは明らかに矛盾ですが、なぜ矛盾なのかが少し分かりにくいです。
さらに、4 と 6 は互いに素ではないので、共通の約数 2 を持っています。
この共通の約数が証明を複雑にします。

方法2：互いに素な形（2/3）を使った場合
√2 = 2/3 と仮定します（2 と 3 は互いに素）。
両辺を2乗すると：2 = 4/9
したがって：18 = 4
これも矛盾ですが、互いに素という条件があることで、より明確な矛盾を導けます。
具体的には、ステップ3で「a と b が両方とも偶数なら、互いに素ではない」という
明確な矛盾を導くことができます。

互いに素な形を使う利点：
1. 矛盾が明確：互いに素という条件から、「a と b が両方とも偶数」という
  事実が「互いに素ではない」という明確な矛盾を導きます
2. 証明が簡潔：共通の約数を考慮する必要がなく、証明が簡潔になります
3. 理解しやすい：互いに素という条件が、証明の流れを理解しやすくします
4. 一般的な方法：この方法は、他の無理数の証明にも応用できます

互いに素でない形を使った場合の問題点：
1. 矛盾が不明確：18 = 4 という矛盾は明らかですが、
  なぜこの矛盾が生じたのかが少し分かりにくいです
2. 証明が複雑：共通の約数を考慮する必要があり、証明が複雑になります
3. 一般化が困難：この方法は、他の無理数の証明に応用しにくいです

結論：
互いに素な形を使うことで、証明がより明確で簡潔になり、理解しやすくなります。
これが、背理法の証明で互いに素な形を使う理由です。✓

まとめ：なぜ互いに素な形を使うのか？
ユーザーの理解を整理すると、以下のようになります：

1. 互いに素な形の分数は約分できない
• 互いに素な分数（既約分数）は、これ以上約分できません
• 例：2/3 は約分できない（gcd(2, 3) = 1）

2. 背理法の証明は互いに素な形の分数を扱うことができる
• 任意の有理数は、互いに素な形に約分できます
• したがって、互いに素な形を仮定しても、すべての可能性をカバーしています
• 例：√2 = 4/6 と表せたとしても、これは 2/3 と約分できます

3. 互いに素な形で計算する方が楽（証明が簡単）
• 互いに素な形を使うと、矛盾を導きやすくなります
• 具体的には、「a と b が両方とも偶数なら、互いに素ではない」という
  明確な矛盾を導くことができます
• 互いに素でない形を使うと、共通の約数を考慮する必要があり、証明が複雑になります

背理法での具体的な流れ：
1. √2 が有理数であると仮定
2. 互いに素な形で表す：√2 = a/b（a, b は互いに素）
3. 変形：2 = a²/b² → 2b² = a²
4. a² は偶数 → a も偶数 → a = 2k
5. 代入：4k² = 2b² → b² = 2k² → b も偶数
6. 矛盾：a と b が両方とも偶数なら、互いに素ではない！
7. しかし、最初に「a と b は互いに素」と仮定したので、矛盾が生じた
8. したがって、√2 は有理数ではない（無理数）

よくある誤解：a と b が両方とも偶数なら、なぜ無理数なのか？
答え：直接的に無理数を示すのではなく、背理法の論理構造によって導かれます。

重要なポイント：
「a と b が両方とも偶数」という事実が、直接「√2 は無理数」を示すわけではありません。
背理法の論理構造によって、「√2 が有理数である」という最初の仮定が間違っていたことが示されます。

背理法の論理構造：
1. 最初の仮定：√2 が有理数である
2. そこから導かれる：√2 = a/b（a, b は互いに素）と表せる
3. 変形の結果：a と b が両方とも偶数になる
4. 矛盾の発生：「a と b は互いに素」と「a と b が両方とも偶数」は矛盾
5. 結論：最初の仮定「√2 が有理数である」が間違っていた
6. したがって：√2 は有理数ではない、つまり無理数である

より詳しい説明：
• 「a と b が両方とも偶数」という事実自体は、有理数とも無理数とも関係ありません
• しかし、この事実が「a と b は互いに素」という仮定と矛盾しています
• この矛盾は、「√2 = a/b（a, b は互いに素）」という表現が不可能であることを示しています
• もし √2 が有理数なら、必ず互いに素な整数の比として表せるはずです
• しかし、そのような表現が存在しないことが示されたので、√2 は有理数ではありません
• したがって、√2 は無理数です

背理法の一般的な構造：
背理法は以下の構造に従います：
1. 証明したい命題の否定を仮定する（ここでは「√2 が有理数」）
2. その仮定から論理的に導かれる結果を求める
3. その結果が矛盾を引き起こすことを示す
4. したがって、最初の仮定が間違っていたと結論する
5. つまり、元の命題（「√2 は無理数」）が正しい

この証明での具体的な流れ：
• 仮定：√2 が有理数 → √2 = a/b（互いに素）
• 導かれる結果：a と b が両方とも偶数
• 矛盾：「互いに素」と「両方とも偶数」は矛盾
• 結論：仮定「√2 が有理数」が間違っていた
• したがって：√2 は無理数

まとめ：
「a と b が両方とも偶数」という事実は、直接無理数を示すのではなく、
背理法の論理構造によって、「√2 が有理数である」という仮定が間違っていたことを示し、
その結果として「√2 は無理数である」という結論が導かれます。✓

互いに素な形を使う利点（再確認）：
• 矛盾が明確：「互いに素」という条件から、「両方とも偶数」という事実が
  「互いに素ではない」という明確な矛盾を導きます
• 証明が簡潔：共通の約数を考慮する必要がありません
• 理解しやすい：証明の流れが明確で、理解しやすくなります
• 一般的：この方法は、他の無理数の証明にも応用できます

結論：
はい、その理解で正しいです！
• 互いに素な形の分数は約分できない
• 背理法の証明は互いに素な形の分数を扱うことができる
• 互いに素な形で計算する方が楽（証明が簡単）
これが、背理法の証明で互いに素な形を使う理由です。✓

ステップ2：変形
両辺を2乗すると：2 = a²/b²
したがって：2b² = a²

ステップ3：矛盾の導出
a² = 2b² より、a² は偶数です。

なぜ a² は偶数なのか？
理由： 2b² = a² という式から、左辺の 2b² が偶数であるためです。

詳しい説明：
• 式：2b² = a²
• 左辺：2b² = 2 × b²
• b² は整数（b は整数なので、b² も整数）
• 2 を掛けた数は必ず偶数（2 × 整数 = 偶数）
• したがって、2b² は偶数です
• 等号が成り立つので、右辺の a² も偶数でなければなりません
• したがって、a² は偶数です。✓

注意：
「偶数でも奇数でも2倍すれば偶数」という理解は、ほぼ正しいですが、
より正確には「2 を掛けた数は必ず偶数」です。
例えば：
• 2 × 3 = 6（偶数）
• 2 × 4 = 8（偶数）
• 2 × 5 = 10（偶数）
• 2 × b² = 2b²（b² が整数なら必ず偶数）

数学的な表現：
任意の整数 n に対して、2n は偶数です。
ここで、n = b²（整数）とすると、2b² は偶数です。
したがって、a² = 2b² より、a² は偶数です。

したがって、a も偶数です（奇数の2乗は奇数なので）。
a = 2k とおくと：a² = 4k² = 2b²
したがって：b² = 2k²
これは b² が偶数であることを意味し、b も偶数です。

しかし、a と b が両方とも偶数なら、互いに素ではありません！
これは「a と b は互いに素」という仮定に矛盾します。

よくある質問：a と b は互いに素であるならば、分母と分子のどちらかが必ず奇数である？
答え：いいえ、必ずしもそうではありません。両方とも奇数である場合もあります。

重要なポイント：
「互いに素」という条件から言えることは：
• 両方とも偶数であることは不可能（両方とも偶数なら、共通の約数 2 があるため、互いに素ではない）
• 両方とも奇数であることは可能（例：3/5、7/11、15/23 など）
• 一方が偶数、もう一方が奇数であることも可能（例：2/3、4/7、6/11 など）

具体例：
両方とも奇数の場合（互いに素）：
• 3/5：分子 3（奇数）、分母 5（奇数）→ gcd(3, 5) = 1 → 互いに素 ✓
• 7/11：分子 7（奇数）、分母 11（奇数）→ gcd(7, 11) = 1 → 互いに素 ✓
• 15/23：分子 15（奇数）、分母 23（奇数）→ gcd(15, 23) = 1 → 互いに素 ✓

一方が偶数、もう一方が奇数の場合（互いに素）：
• 2/3：分子 2（偶数）、分母 3（奇数）→ gcd(2, 3) = 1 → 互いに素 ✓
• 4/7：分子 4（偶数）、分母 7（奇数）→ gcd(4, 7) = 1 → 互いに素 ✓
• 6/11：分子 6（偶数）、分母 11（奇数）→ gcd(6, 11) = 1 → 互いに素 ✓

両方とも偶数の場合（互いに素ではない）：
• 4/6：分子 4（偶数）、分母 6（偶数）→ gcd(4, 6) = 2 → 互いに素ではない ✗
• 8/12：分子 8（偶数）、分母 12（偶数）→ gcd(8, 12) = 4 → 互いに素ではない ✗
• 10/14：分子 10（偶数）、分母 14（偶数）→ gcd(10, 14) = 2 → 互いに素ではない ✗

正確な表現：
「a と b が互いに素であるならば、両方とも偶数であることは不可能」
つまり、「a と b が互いに素ならば、少なくとも一方は奇数である」が正確です。
「どちらかが必ず奇数」という表現は、両方とも奇数である場合も含まれるので、
少し誤解を招く可能性があります。

背理法の証明での重要性：
• 互いに素な分数では、両方とも偶数であることは不可能
• しかし、変形の結果、a と b が両方とも偶数になった
• これは「a と b は互いに素」という仮定と矛盾する
• したがって、最初の仮定「√2 が有理数」が間違っていた

結論：
「a と b が互いに素ならば、どちらかが必ず奇数」という表現は、
技術的には正しいですが、「少なくとも一方は奇数」または
「両方とも偶数ではない」と表現する方が正確で理解しやすくなります。✓

ステップ4：結論
したがって、√2 は有理数ではありません。つまり、√2 は無理数です。

証明したいこと： 最大の素数は存在しない

ステップ1：仮定
最大の素数が存在すると仮定します。それを P とします。

ステップ2：新しい数を構成
すべての素数の積に 1 を加えた数を考えます：
N = 2 × 3 × 5 × 7 × ... × P + 1

ステップ3：矛盾の導出
N は既知のどの素数でも割り切れません（余りは常に 1）。
したがって、N は素数であるか、N より小さい素数で割り切れます。
どちらの場合でも、P より大きい素数が存在することになります。
これは「P が最大の素数」という仮定に矛盾します。

よくある誤解：N = p₁ × p₂ × ... × pₙ + 1 は必ず素数になる？
答え：いいえ、必ずしも素数になるわけではありません。N は素数になることもあれば、合成数になることもあります。

重要なポイント：
ユークリッドの証明で重要なのは、N が必ず素数になることではありません。
重要なのは、N が既知の素数（p₁, p₂, ..., pₙ）のどれとも異なる新しい素数を素因数として持つことです。

2つの場合：
ケース1：N が素数の場合
• この場合、N 自身が新しい素数です
• 例：2 × 3 + 1 = 7（素数）
• 例：2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031
  （実際には 30031 = 59 × 509 なので合成数ですが、最初の6個の素数を使った場合）

ケース2：N が合成数の場合
• この場合、N を割り切る素数が存在します
• しかし、その素数は既知の素数（p₁, p₂, ..., pₙ）のどれとも異なります
• なぜなら、N は既知のどの素数でも割り切れないからです
• したがって、N の素因数は、既知の素数とは異なる新しい素数です
• 例：2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509
  59 と 509 は新しい素数です

具体例で確認：
例1：N が素数になる場合
• p₁ = 2：N = 2 + 1 = 3（素数）✓
• p₁, p₂ = 2, 3：N = 2 × 3 + 1 = 7（素数）✓
• p₁, p₂, p₃ = 2, 3, 5：N = 2 × 3 × 5 + 1 = 31（素数）✓

例2：N が合成数になる場合
• p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆ = 2, 3, 5, 7, 11, 13：
  N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031
  30031 = 59 × 509（合成数）
  しかし、59 と 509 は新しい素数です
• p₁, p₂, p₃, p₄ = 2, 3, 5, 7：
  N = 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211（素数）

なぜ N が合成数でも証明が成立するのか：
• N が合成数の場合、N を割り切る素数が存在します
• その素数は、N の素因数です
• しかし、N は既知のどの素数でも割り切れません
• したがって、N の素因数は、既知の素数とは異なる新しい素数です
• これは「既知の素数がすべて」という仮定に矛盾します

結論：
「素数を順番に掛けていって、それに＋１すれば、それは素数だ」という理解は誤りです。
正確には：
• N = p₁ × p₂ × ... × pₙ + 1 は、素数になることもあれば合成数になることもあります
• しかし、どちらの場合でも、N は既知の素数とは異なる新しい素数を素因数として持ちます
• これが、ユークリッドの証明の核心です
• 重要なのは「N が素数になること」ではなく、「新しい素数が存在すること」です。✓

ステップ4：結論
したがって、最大の素数は存在しません。

直接証明：
偶数を 2a、奇数を 2b+1 とおく（a, b は整数）。
和は：2a + (2b+1) = 2(a+b) + 1
これは奇数の形なので、偶数と奇数の和は奇数です。✓

背理法による証明：
偶数と奇数の和が偶数であると仮定します。
偶数を 2a、奇数を 2b+1 とおくと：
2a + (2b+1) = 2c（c は整数）と仮定
変形すると：2b+1 = 2(c-a)
左辺は奇数、右辺は偶数なので矛盾です。
したがって、偶数と奇数の和は奇数です。✓

比（ratio）の意味：
「比」とは、2つの量の関係を表す方法です。
数学では、比は分数の形で表されます。

例：
• 整数 3 と整数 5 の比 → 3/5 または 3:5
• 整数 1 と整数 2 の比 → 1/2 または 1:2
• 整数 7 と整数 3 の比 → 7/3 または 7:3

重要なポイント：
1. 両方とも整数である必要がある
  • 3/5 → 3 と 5 は整数 ✓
  • √2/3 → √2 は整数ではない ✗
  • 1.5/2 → 1.5 は整数ではない ✗

2. 分母は 0 であってはならない
  • 3/0 は定義されない（0 で割ることはできない）
  • したがって、b ≠ 0 という条件が必要

3. 分数として計算できる
  • 3/5 = 0.6（有限小数）
  • 1/3 = 0.333...（循環小数）
  • 7/3 = 2.333...（循環小数）

「比」と「分数」の関係：
• 比 3:5 は分数 3/5 と同じ意味
• 比 1:2 は分数 1/2 と同じ意味
• 有理数の定義では「比」と「分数」は同じ意味で使われます

例1：整数の比として表せる数（有理数）
• 1/2：整数 1 と整数 2 の比 → 有理数 ✓
• 3/4：整数 3 と整数 4 の比 → 有理数 ✓
• 5/1：整数 5 と整数 1 の比 → 有理数 ✓（これは整数 5 と同じ）
• -2/3：整数 -2 と整数 3 の比 → 有理数 ✓（負の数も含む）
• 0/1：整数 0 と整数 1 の比 → 有理数 ✓（0 も有理数）

例2：整数の比として表せない数（無理数）
• √2：整数の比として表せない → 無理数
• π：整数の比として表せない → 無理数
• e：整数の比として表せない → 無理数
• √2/√3：分子と分母が整数ではない → 無理数

例3：見た目は複雑でも、整数の比として表せる場合
• √4/√4 = 4/4 = 1/1 → 有理数 ✓
• (√2)²/2 = 2/2 = 1/1 → 有理数 ✓
• √(1/4) = 1/2 → 有理数 ✓

互いに素な分数の定義：
分数 a/b が互いに素な形（既約分数）であるとは、
分子 a と分母 b が互いに素（gcd(a, b) = 1）であることを意味します。

約分とは：
約分とは、分子と分母を共通の約数で割ることです。
例えば、4/6 を約分すると：4/6 = (4÷2)/(6÷2) = 2/3
ここで、2 は 4 と 6 の共通の約数（最大公約数）です。

互いに素な分数は約分できない理由：
互いに素な分数 a/b では、gcd(a, b) = 1 です。
つまり、a と b の最大公約数は 1 です。
約分するには、1 より大きい共通の約数が必要ですが、
互いに素な分数には、1 より大きい共通の約数が存在しません。
したがって、互いに素な分数は約分できません。✓

具体例：
• 2/3：gcd(2, 3) = 1 → 互いに素 → 約分できない ✓
• 1/2：gcd(1, 2) = 1 → 互いに素 → 約分できない ✓
• 3/5：gcd(3, 5) = 1 → 互いに素 → 約分できない ✓
• 7/11：gcd(7, 11) = 1 → 互いに素 → 約分できない ✓

約分できる分数との比較：
• 4/6：gcd(4, 6) = 2 → 互いに素ではない → 約分できる（4/6 = 2/3）
• 8/12：gcd(8, 12) = 4 → 互いに素ではない → 約分できる（8/12 = 2/3）
• 15/20：gcd(15, 20) = 5 → 互いに素ではない → 約分できる（15/20 = 3/4）

重要なポイント：
1. 互いに素な分数 = 既約分数：これ以上約分できない分数
2. 約分できない = 互いに素：約分できない分数は、分子と分母が互いに素
3. すべての有理数は、互いに素な形に約分できる：
  任意の有理数 a/b は、最大公約数で約分することで、互いに素な形にできます
4. 互いに素な形は一意：同じ有理数を互いに素な形で表す方法は唯一です

例：約分の過程
12/18 を互いに素な形に約分する：
• gcd(12, 18) = 6
• 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3
• gcd(2, 3) = 1 → 互いに素な形 ✓
• これ以上約分できない

結論：
互いに素な形の分数は、定義により約分できません。
これが「互いに素」という言葉の意味です。
逆に、約分できる分数は、互いに素ではありません。

理由1：定義による
有理数の定義は「2つの整数の比として表せる数」です。
1/3 は、整数 1 と整数 3 の比として表されています。
したがって、1/3 は有理数です。✓

理由2：小数表現による
1/3 を小数で表すと：1/3 = 0.333333...
これは循環小数（同じ数字「3」が無限に繰り返される）です。
循環小数は有理数の特徴の一つです。
したがって、1/3 は有理数です。✓

理由3：互いに素な整数による表現
1 と 3 は互いに素な整数です（gcd(1, 3) = 1）。
1/3 = 1/3（既に互いに素な整数の比）
したがって、1/3 は有理数です。✓

重要なポイント：
互いに素な整数の分数（有理数）は、有限小数になる場合と循環小数になる場合の両方があります。

有限小数になる場合：
分母の素因数が 2 と 5 のみの場合、有限小数になります。
• 1/2 = 0.5（有限小数）← 1 と 2 は互いに素
• 3/4 = 0.75（有限小数）← 3 と 4 は互いに素
• 1/5 = 0.2（有限小数）← 1 と 5 は互いに素
• 7/8 = 0.875（有限小数）← 7 と 8 は互いに素
• 3/20 = 0.15（有限小数）← 3 と 20 は互いに素

循環小数になる場合：
分母に 2 と 5 以外の素因数がある場合、循環小数になります。
• 1/3 = 0.333...（循環小数）← 1 と 3 は互いに素
• 1/7 = 0.142857142857...（循環小数）← 1 と 7 は互いに素
• 2/3 = 0.666...（循環小数）← 2 と 3 は互いに素
• 5/6 = 0.8333...（循環小数）← 5 と 6 は互いに素
• 1/11 = 0.090909...（循環小数）← 1 と 11 は互いに素

判定方法：
互いに素な分数 a/b を既約分数として表したとき：
• 分母 b の素因数が 2 と 5 のみ → 有限小数
• 分母 b に 2 と 5 以外の素因数がある → 循環小数

例：
• 1/2：分母 2 = 2¹（2 のみ）→ 有限小数 ✓
• 3/4：分母 4 = 2²（2 のみ）→ 有限小数 ✓
• 1/5：分母 5 = 5¹（5 のみ）→ 有限小数 ✓
• 3/20：分母 20 = 2² × 5¹（2 と 5 のみ）→ 有限小数 ✓
• 1/3：分母 3 = 3¹（3 がある）→ 循環小数 ✓
• 1/7：分母 7 = 7¹（7 がある）→ 循環小数 ✓
• 5/6：分母 6 = 2 × 3（3 がある）→ 循環小数 ✓

重要な注意：
• 互いに素かどうかは、有限小数か循環小数かを決める要因ではありません
• 有限小数か循環小数かは、分母の素因数によって決まります
• 互いに素な分数でも、分母に 2 と 5 以外の素因数があれば循環小数になります
• すべての有理数（互いに素な分数）は、有限小数または循環小数のどちらかです
• 非循環無限小数になるのは無理数だけです

定理： 任意の有理数 r は、r = a/b（a, b は互いに素な整数、b > 0）の形で一意に表すことができる。

証明のアイデア：
有理数 r = c/d（c, d は整数、d ≠ 0）とします。
c と d の最大公約数を g = gcd(c, d) とすると、
c = ga'、d = gb'（a', b' は互いに素な整数）と表せます。
したがって、r = c/d = (ga')/(gb') = a'/b'
ここで、a' と b' は互いに素です。
必要に応じて、b' が負の場合は a' と b' の符号を変えることで、b' > 0 とできます。

例：
• 4/6 = 2/3（gcd(4, 6) = 2 で約分）
• 15/20 = 3/4（gcd(15, 20) = 5 で約分）
• -8/12 = -2/3（gcd(8, 12) = 4 で約分、分母を正に）

正確な表現：
「分数で表せない」という表現は少し曖昧です。
正確には「2つの整数の比として表せない実数」が無理数です。

重要な注意点：
1. 実数である必要がある
  • 無理数は実数の一部です
  • 虚数（例：√(-1) = i）は実数ではないので、無理数ではありません
  • 複素数も実数ではないので、無理数ではありません

2. 「分数」の意味
  • ここで言う「分数」は「2つの整数の比」を意味します
  • 例えば、√2/√3 は分数の形ですが、分子と分母が整数ではないので、これは無理数です
  • 無理数かどうかは「整数/整数」の形で表せるかどうかで判断します

3. すべての実数は有理数か無理数のどちらか
  • 実数は必ず有理数か無理数のどちらかに分類されます
  • どちらでもない実数は存在しません

誤解1：「分数の形でないものは無理数」
❌ 間違い：整数 5 は分数の形ではありませんが、有理数です（5 = 5/1）
✓ 正しい：整数の比として表せない実数が無理数

誤解2：「無限小数は無理数」
❌ 間違い：0.333... は無限小数ですが、有理数です（1/3）
✓ 正しい：非循環無限小数が無理数

誤解3：「根号（√）がついているものは無理数」
❌ 間違い：√4 = 2 は有理数です
❌ 間違い：√(1/4) = 1/2 は有理数です
✓ 正しい：完全平方数でない正の整数の平方根は無理数（例：√2, √3, √5）

誤解4：「分数の形なら有理数」
❌ 間違い：√2/√3 は分数の形ですが、無理数です
✓ 正しい：整数/整数 の形で表せる実数が有理数

理由：計算すると 1 になる
√2/√2 = 1
1 は有理数です（1 = 1/1 として表せる）。
したがって、√2/√2 は有理数です。✓

重要なポイント：
• √2/√2 は分数の形をしていますが、計算すると 1 という整数になります
• 同じ数で割ると 1 になるのは、数学の基本的な性質です
• 見た目が無理数の形でも、計算結果が整数や有理数になることがあります

類似の例：
• √3/√3 = 1（有理数）
• √5/√5 = 1（有理数）
• (√2)² = 2（有理数）
• (√3)² = 3（有理数）
• √4 = 2（有理数、完全平方数）
• √(1/4) = 1/2（有理数）

注意：
一方で、√2/√3 = √(2/3) は無理数です。
これは整数の比として表すことができません。

無理数の二乗が有理数になる場合：
• (√2)² = 2 → 有理数 ✓
• (√3)² = 3 → 有理数 ✓
• (√5)² = 5 → 有理数 ✓
• (√7)² = 7 → 有理数 ✓
• 一般に、(√n)² = n（n は正の整数）→ 有理数 ✓

無理数の二乗が無理数のままの場合：
• π² → 無理数（π は無理数なので、π² も無理数）
• e² → 無理数（e は無理数なので、e² も無理数）
• (√2 + √3)² = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6 → 無理数
• (√2 × √3)² = (√6)² = 6 → 有理数（これは例外）

重要なポイント：
1. 平方根の二乗：√n（n は完全平方数でない正の整数）の二乗は有理数になります
2. 超越数の二乗：π や e のような超越数の二乗は無理数のままです
3. 無理数の和の二乗：無理数同士の和の二乗は、一般に無理数のままです
4. 無理数の積の二乗：無理数同士の積の二乗は、有理数になる場合があります

証明のアイデア：
(√2)² = 2 が有理数であることは明らかです。
一方、π² が無理数であることは、π が超越数であることから証明されます。
（超越数は、有理数係数の代数方程式の解にならない数です）

有理数の小数表現：
• 有限小数： 0.5、0.75、1.25 など（有限桁で終わる）
• 循環小数： 0.333...、0.142857142857...、0.1666... など（同じパターンが繰り返される）

無理数の小数表現：
• 非循環無限小数： 1.41421356...（√2）、3.14159265...（π）、2.71828182...（e）など（繰り返しパターンがない無限小数）

有理数の例：
• 1/2 = 0.5（有限小数）
• 1/3 = 0.333...（循環小数、周期1）
• 1/7 = 0.142857142857...（循環小数、周期6）
• 22/7 = 3.142857142857...（π の近似値だが、有理数）
• 整数 5 = 5.0（有限小数）

無理数の例：
• √2 = 1.4142135623730950...（非循環無限小数）
• √3 = 1.7320508075688772...（非循環無限小数）
• π = 3.1415926535897932...（非循環無限小数）
• e = 2.7182818284590452...（非循環無限小数）
• log₂(3) = 1.5849625007211561...（非循環無限小数）

有理数同士の演算：
• 1/2 + 1/3 = 5/6（有理数）
• 2/3 × 3/4 = 1/2（有理数）

有理数と無理数の演算：
• 1 + √2 = 1 + √2（無理数）
• 3 × π = 3π（無理数）
• 0 + √2 = √2（無理数、0 は有理数だが結果は無理数）
• 0 × √2 = 0（有理数、0 を掛けると有理数になる）

無理数同士の演算：
• √2 + √3（一般には無理数だが、証明が必要）
• √2 × √3 = √6（無理数）
• √2 + (-√2) = 0（有理数、相殺される場合がある）

例1：基本的な和集合
A = {1, 2, 3}、B = {3, 4, 5} とすると、
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
（両方に含まれる 3 は1回だけ書きます）

例2：実数 = 有理数 ∪ 無理数
{ 実数 } = { 有理数 } ∪ { 無理数 }
これは「実数は、有理数または無理数のどちらか（または両方）である」ことを意味します。
実際には、有理数と無理数は互いに排他的なので、実数は有理数か無理数のどちらか一方です。

例3：整数と分数
{ 有理数 } = { 整数 } ∪ { 分数 }
有理数は、整数または分数（または両方）です。
実際には、整数は分数の形（例：3 = 3/1）でも表せるので、整数も分数の一種と考えることができます。

例：A = {1, 2, 3}、B = {3, 4, 5} のとき

和集合（∪）：
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
「A または B の要素」をすべて集める

共通部分（∩）：
A ∩ B = {3}
「A と B の両方に含まれる要素」だけを集める

視覚的な理解：
A ∪ B：A と B を合わせた全体
A ∩ B：A と B が重なっている部分

例1：数値の集合
A = {1, 2, 3, 4}、B = {3, 4, 5, 6} のとき、
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
（3 と 4 は両方に含まれるが、1回だけ書く）

例2：数の種類
{ 整数 } = { 偶数 } ∪ { 奇数 }
すべての整数は、偶数か奇数のどちらか一方です。
また、{ 偶数 } ∩ { 奇数 } = ∅（空集合）なので、
偶数と奇数は互いに排他的です。

例3：実数の分類
{ 実数 } = { 有理数 } ∪ { 無理数 }
すべての実数は、有理数か無理数のどちらか一方です。
また、{ 有理数 } ∩ { 無理数 } = ∅ なので、
有理数と無理数は互いに排他的です。

例4：複数の集合
A = {1, 2}、B = {2, 3}、C = {3, 4} のとき、
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4}
すべての要素を1回ずつ含みます。

実数（複素数の一部）：
• 3 = 3 + 0i（実部 3、虚部 0）
• -5 = -5 + 0i（実部 -5、虚部 0）
• √2 = √2 + 0i（実部 √2、虚部 0）

純虚数（複素数の一部）：
• i = 0 + 1i（実部 0、虚部 1）
• 2i = 0 + 2i（実部 0、虚部 2）
• -3i = 0 + (-3)i（実部 0、虚部 -3）

一般の複素数：
• 3 + 2i（実部 3、虚部 2）
• 1 - i（実部 1、虚部 -1）
• √2 + πi（実部 √2、虚部 π）

実数同士の演算：
• 3 + 5 = 8（実数）
• √2 × √3 = √6（実数）

虚数同士の演算：
• i + 2i = 3i（純虚数）
• i × i = i² = -1（実数！）
• 2i × 3i = 6i² = -6（実数！）

実数と虚数の演算：
• 3 + 2i（複素数、実部 3、虚部 2）
• 5 × i = 5i（純虚数）
• (3 + 2i) + (1 - i) = 4 + i（複素数）

重要な観察：
虚数同士の積が実数になることがあります（i × i = -1）。

ステップ1：仮定
素数が有限個しか存在しないと仮定します。
すべての素数を p₁, p₂, p₃, ..., pₙ とします（n は有限の数）。

ステップ2：新しい数を構成
すべての素数の積に 1 を加えた数を考えます：

ステップ3：N の性質を分析
N について、以下の2つの可能性があります：

ケースA： N が素数である
→ しかし、N は p₁, p₂, ..., pₙ のどれとも異なります（なぜなら、N はそれらすべてより大きいから）
→ これは「すべての素数を列挙した」という仮定に矛盾します！

ケースB： N が合成数である
→ N は何らかの素数で割り切れるはずです
→ しかし、N を p₁, p₂, ..., pₙ のいずれかで割ると、余りが 1 になります
→ なぜなら、N = (p₁ × p₂ × ... × pₙ) + 1 だからです
→ したがって、N は既知のどの素数でも割り切れません
→ これは、N を割り切る別の素数が存在することを意味します
→ しかし、その素数は p₁, p₂, ..., pₙ のどれとも異なります
→ これも仮定に矛盾します！

ステップ4：結論
どちらのケースでも矛盾が生じるため、最初の仮定「素数が有限個」は間違っています。
したがって、素数は無限に多く存在することが証明されました。

例：最初の3つの素数だけが存在すると仮定

仮定： 素数は 2, 3, 5 の3つだけ

新しい数： N = 2 × 3 × 5 + 1 = 30 + 1 = 31

31 を確認：
• 31 は 2 で割り切れない（余り 1）
• 31 は 3 で割り切れない（余り 1）
• 31 は 5 で割り切れない（余り 1）
• 31 は素数です！

結論： 31 という新しい素数が見つかりました。これは「素数が3つだけ」という仮定に矛盾します。

別の例：最初の5つの素数だけが存在すると仮定

仮定： 素数は 2, 3, 5, 7, 11 の5つだけ

新しい数： N = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2310 + 1 = 2311

2311 を確認：
• 2311 は既知のどの素数でも割り切れません（余りは常に 1）
• 2311 は素数です！

結論： 2311 という新しい素数が見つかりました。仮定に矛盾します。

60 = 2² × 3¹ × 5¹

これは以下のように書いても同じです：
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5
• 60 = 3 × 2² × 5
• 60 = 5 × 3 × 2²

しかし、素因数の種類と指数は常に同じです：
• 素因数：2, 3, 5
• 指数：2, 1, 1

これが「一意性」の意味です。

例：gcd(60, 84) を求める

60 = 2² × 3¹ × 5¹
84 = 2² × 3¹ × 7¹

共通する素因数の最小の指数を取る：
gcd(60, 84) = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

例：lcm(60, 84) を求める

60 = 2² × 3¹ × 5¹
84 = 2² × 3¹ × 7¹

すべての素因数の最大の指数を取る：
lcm(60, 84) = 2² × 3¹ × 5¹ × 7¹ = 4 × 3 × 5 × 7 = 420

例：60 の約数の個数

60 = 2² × 3¹ × 5¹
約数の個数 = (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 3 × 2 × 2 = 12 個

実際の約数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60（12個）✓

読み方：
• 英語： 「ジー・シー・ディー」または「最大公約数」
• 日本語： 「最大公約数」
• 記号： gcd(a, b) または (a, b)

意味：
gcd(a, b) は「a と b の最大公約数」を表します。
例えば、gcd(12, 18) は「12 と 18 の最大公約数」を意味します。

使用例：
• gcd(12, 18) = 6
• gcd(15, 25) = 5
• gcd(7, 11) = 1（互いに素）
• gcd(8, 12) = 4

変数を使った表記：
• g = gcd(c, d) は「c と d の最大公約数を g とおく」という意味です
• これは、c と d の両方を割り切る最大の正の整数を g と表すことを意味します

他の表記法：
• gcd(a, b) と (a, b) は同じ意味です
• ただし、gcd(a, b) の方がより明確で一般的です
• (a, b) は順序対（座標）と混同される可能性があるため、gcd(a, b) の方が推奨されます

計算： 2^5-1 = 2⁴ = 16
mod 5： 16 ÷ 5 = 3 余り 1
結果： 16 ≡ 1 (mod 5) ✓

計算： 3^7-1 = 3⁶ = 729
mod 7： 729 ÷ 7 = 104 余り 1
結果： 729 ≡ 1 (mod 7) ✓

計算： 4^11-1 = 4¹⁰ = 1,048,576
mod 11： 1,048,576 ÷ 11 = 95,325 余り 1
結果： 1,048,576 ≡ 1 (mod 11) ✓